Notas
 
Instituto Mexicano del Transporte
Publicación mensual de divulgación externa

NOTAS núm. 110, febrero 2008, artículo 2
Reducción de la congestión vehícular y los principios de Wardrop
Eric Moreno Quintero

 

 

 

Referencia

Introducción

La congestión del tránsito vehicular, surgida junto con el auge de los automotores en el siglo XX, es un problema que a la fecha persiste. Su ocurrencia está muy ligada a la autonomía que tienen los automovilistas para elegir sus rutas y con la racionalidad que los guía.

Este artículo examina brevemente el fenómeno de la congestión del tráfico vehicular revisando dos principios básicos que la explican: los principios de Wardrop. Estos principios fundamentan gran parte de la modelación actual de flujos de tráfico y han mejorado nuestra comprensión del fenómeno, así como de las posibles medidas para aliviar sus efectos.

La elección de ruta para viajar

Para cualquier usuario de una red vial, buscar la ruta más corta para ir a su destino resulta natural. Esta búsqueda plantea un problema matemático ya resuelto por la investigación de operaciones en los años 1950. El conocido algoritmo de Dijkstra que encuentra la ruta más corta en una red formada por nodos y arcos, conociendo las longitudes de los arcos, es un típico ejemplo de este desarrollo. Un ejemplo se ve en diagrama de la figura 1, que ilustra los caminos para ir de la ciudad de Querétaro a la de San Juan del Río en el estado de Querétaro.

Aplicando el algoritmo de Dijkstra a la figura 1, se obtiene la ruta más corta para ir de Querétaro a San Juan del Río: Querétaro–Parque Industrial B.Quintana–Pedro Escobedo–La Mansión–San Juan del Río mostrada en la figura 2, y además todo el árbol de rutas más cortas desde el nodo Querétaro a cualquier otro nodo de la red.

Figura 1

Esquema de rutas para ir de Querétaro a San Juan del Río

Esta solución pareciera ser la respuesta a los viajeros que buscan la mejor ruta, si no fuera porque no se trata de un solo viajero, sino de muchos más usando la misma vía, y cuando éstos comparten el camino, comienzan a estorbarse entre sí, obligando a todos a reducir la velocidad a la que se puede circular, con lo que la optimalidad de la ruta más corta de la figura 2 pierde validez y la congestión empieza a manifestarse.

Figura 2

Árbol de rutas más cortas de Querétaro a San Juan del Río

Para analizar mejor la situación, conviene examinar un caso sencillo, donde los usuarios tienen que elegir entre dos rutas alternativas para alcanzar su destino.

Por ejemplo, considérese el diagrama de la figura 3, para ir del poblado A al B, donde se muestran las dos rutas posibles, sus distancias, las velocidades de circulación y los tiempos de recorrido en condiciones de flujo libre, es decir, cuando no hay obstáculos en el camino. Se ve que la ruta más corta en distancia es la ruta 2 con 55km, y la ruta más corta en tiempo es la ruta 1 con 36 minutos.

Figura 3

Ejemplo de ruta más corta, en distancia o tiempo

Siguiendo con el ejemplo, supongamos que partiendo del tiempo de recorrido de flujo libre, la entrada de cada auto al camino aumenta el recorrido en 4 segundos para la ruta 1 y en 5 segundos para la ruta 2. Entonces si circulan N vehículos, el tiempo de recorrido en la ruta 1 aumenta como sigue:

 

Y de la relación Velocidad = Distancia / Tiempo, la velocidad de circulación en la ruta 1 es:

Del mismo modo, con N vehículos circulando, el tiempo de recorrido en la ruta 2 aumenta como:

con lo que la velocidad de circulación en la ruta 2 resulta:

La figura 4 muestra la variación de estas velocidades a medida que N aumenta.

Figura 4

Reducción de velocidad por efecto de la congestión

Considerando el tiempo de recorrido, el “costo” (en horas) de usar las rutas está dado por:

donde C1 es el costo de usar el camino 1, y C2 el costo de usar el camino 2; la figura 5 ilustra cómo varía el tiempo de recorrido a medida que aumenta el número de usuarios en las rutas.

La situación descrita plantea a los usuarios el problema de elegir entre la ruta 1 o la ruta 2. Comenzando por la ruta más rápida (ruta 1), un único usuario tardaría 36 minutos (0.6 horas) en recorrerla, pero a medida que más usuarios entran al camino, el tiempo que tardaría cualquiera de ellos aumenta como se ve en la figura 5. Así, por ejemplo con 360 autos en la ruta 1 el recorrido tarda una hora. Algo semejante pasaría con la ruta 2. Ampliando la idea, si por ejemplo hubiera 750 vehículos en el poblado A que desean ir al poblado B, la pregunta a responder es: ¿cuántos deben ir por la ruta 1 y cuántos por la ruta 2 para que los automovilistas se estorben entre ellos lo menos posible? La respuesta a esta pregunta lleva a un concepto de equilibrio en los flujos en el cual la congestión vial llega a un valor mínimo. La formalización de estas ideas está en los principios de Wardrop, que se comentan enseguida.

Figura 5

Aumento del tiempo de recorrido por efecto de la congestión

Los principios de Wardrop

En 1952, J.G. Wardrop, un ingeniero británico dedicado al análisis del transporte describió el equilibrio que se da en una red vial cuando los usuarios buscan la mejor ruta para ir a su destino, repartiéndose entre las diversas rutas alternativas hasta llegar a un estado en el cual se tiene la mejor solución posible respecto de la congestión. El equilibrio de Wardrop se enuncia en dos principios:

1er Principio de Wardrop: En condiciones de equilibrio en una red congestionada, el tráfico se acomoda de modo que todas las rutas utilizadas en un par Origen – Destino dado tienen el mismo costo mínimo, mientras que las rutas que no se usan tienen costos iguales o mayores. (Ortúzar y Willumsen, p. 304).

En este enunciado, el costo de la ruta suele interpretarse como el tiempo de recorrido, y el principio indica que en el equilibrio, ningún usuario puede ahorrar tiempo en su viaje si individualmente decide cambiar a otra ruta alternativa. En el equilibrio, el efecto de la congestión es mínimo para todos los usuarios. El costo mínimo que describe este primer principio es llamado también Óptimo del Usuario (OU), pues es el resultado final de las decisiones independientes de muchos usuarios, cada uno buscando mejorar su propio tiempo de recorrido.

2º Principio de Wardrop. En condiciones de equilibrio social en una red congestionada, el tráfico debería acomodarse de manera que el costo total de los usuarios sea mínimo. (Ortúzar y Willumsen, p. 305).

El segundo principio tiene un sentido más bien normativo, en contraste con el carácter individualista de las decisiones de los usuarios en el primer principio. El segundo principio de Wardrop lleva el enfoque del planificador del sistema de transporte, que busca minimizar la suma de los tiempos de recorrido (el costo total) de todos los usuarios en la red vial, ya que así minimiza los impactos del tráfico (gasto de combustible, emisiones contaminantes, ruido, etc.) y logra un óptimo desde el punto de vista social. El equilibrio logrado con este enfoque es llamado Óptimo Social (OS).

Los dos principios de Wardrop se refieren a equilibrios posibles en una red vial congestionada. El óptimo del usuario, sin embargo, suele ser distinto del óptimo social, mostrando una divergencia entre el interés individual de los usuarios de la red y el interés social. En las secciones siguientes se desarrollan los cálculos de ambos equilibrios para el ejemplo de la figura 3 y se plantea una posible solución para ajustar las decisiones de los usuarios hacia el óptimo social: la tarificación de las vialidades.

El óptimo del usuario

El óptimo del usuario (OU) busca minimizar el costo individual de cada usuario de la red vial; la idea corresponde al primer principio de Wardrop, donde ningún usuario individual de la red puede mejorar sus propios costos usando rutas alternas. La función objetivo para el problema OU fue propuesta por Beckman, McGuire y Winsten en 1956. El problema de optimización consiste en minimizar la suma de las áreas bajo las curvas de costo de los tramos de la red, que para el ejemplo se expresa como sigue:

Donde C1(x), C2(x) son las funciones de costo de las rutas 1 y 2 (graficadas en la figura 5); N1, N2 son los volúmenes vehiculares en las rutas 1 y 2 respectivamente, y en el ejemplo N = 750 vehículos. Reemplazando las funciones de costo e integrando, se obtiene el problema a resolver para el óptimo del usuario:

Este problema puede resolverse con algún software de optimización como LINGO ó Solver de Excel, obteniéndose la solución óptima: N1* = 470, N2* = 280 y los correspondientes costos de los usuarios: C1(470) = C2(280) = 1.122 hr = 1 hr 7min 20s.

El costo total es la suma de los costos de todos los usuarios: 750´1.122 = 841.50 hrs. Como puede verse de la solución, cuando 470 vehículos eligen la ruta 1 y el resto de los 750 eligen la ruta 2, cualquier automovilista tardará el mismo tiempo de 1.122 hr sin importar la ruta que haya elegido; este es el estado de equilibrio donde se logra el óptimo del usuario, OU.

El óptimo social

El óptimo social (OS) busca minimizar los impactos negativos de los flujos vehiculares (emisiones contaminantes, gasto de combustible, ruido, etc.). Este objetivo se modela minimizando el costo total asociado a los flujos que circulan en la red vial, y corresponde al segundo principio de Wardrop. Así, el problema de optimización del óptimo social es:

Reemplazando las correspondientes funciones de costo C1(x), C2(x), el problema resulta:

La solución óptima es: N1* = 443.333 » 443, N2* = 306.667 » 307 con los costos para los usuarios: C1(443) = 1.093 hrs = 1 hr 5min 34s; C2(307) = 1.159 hrs = 1 hr 9min 32s.

El costo total mínimo es: 443´1.093 + 307´1.159 = 840.0 hrs. La solución muestra que en el óptimo, los 443 vehículos que toman la ruta 1 logran mejor tiempo de recorrido que los que eligen la ruta 2, lo que supone que los usuarios de esta última anteponen el interés social al interés individual de obtener el mejor tiempo.

Los costos marginales y la tarificación

La idea del costo marginal corresponde al cambio que experimenta el costo total de los flujos en las rutas debido a la incorporación de un usuario extra en la circulación. Como el costo total Z depende de los flujos N1 y N2, éste se representa como la función siguiente:

Los costos marginales vienen a ser las derivadas parciales de Z respecto a sus variables:

Evaluando estas derivadas parciales con la solución óptima para el caso OU, los costos marginales en las rutas 1 y 2 son respectivamente:

CM1 = 1.644 hr; CM2 = 1.511 hr.

De modo semejante, para el óptimo OS, los correspondientes costos marginales son:

CM2 = 1.585 hr; CM2 = 1.585 hr.

Pensando en términos de equidad los flujos N1 y N2 deberían repartirse en las rutas de modo que ninguna tuviera ventaja sobre la otra. Por tanto, debería transferirse flujo del camino con alto costo marginal (donde cuesta más admitir un usuario extra) hacia el camino con menor costo marginal (donde es más barato admitir al usuario adicional) hasta un punto donde ambos costos marginales coincidan: CM1 = CM2.

Resolviendo las ecuaciones lineales resultantes y agregando la condición N1 + N2 = 750, se obtiene: N1* = 443, N2* = 307 con los costos marginales: CM1 = CM2 = 1.585 hr. en ambas rutas, y esta solución es la misma obtenida en el óptimo social OS.

De los cálculos desarrollados se puede observar que:

a) El costo total del óptimo social OS: 840.0hrs es menor que el costo total del óptimo del usuario OU: 841.5hrs, representando un ahorro de 1.5 horas. Esto representa un beneficio social por el ahorro en combustible, generación de ruido y emisión de contaminantes de los 750 vehículos que usan la red, es decir: 750 veh ´ 1.5 hr = 1125 veh-hr.

b) En el óptimo del usuario OU, todos los usuarios tienen el mismo costo de recorrido: 1.122 hr, mientras que en el óptimo social OS los automovilistas que usan la ruta 1 tienen un mejor tiempo de 1.093 hr. y los usuarios de la ruta 2 tienen un peor tiempo de 1.159 hr.

Así, parece razonable buscar una manera de inducir a los usuarios a adoptar el reparto de tráfico correspondiente al óptimo OS.

Dado que los usuarios toman sus decisiones de ruta de acuerdo al costo que perciben de elegirlas, y lo hacen de manera individual, independientemente unos de otros, se requiere una intervención del planificador del sistema de transporte para que los tráficos se repartan conforme a la solución del óptimo social OS. Una forma de hacer esto es dejar que los usuarios sigan decidiendo individualmente el uso de las rutas, pero imponiendo una tarifa para usar la ruta 1 (de mayor costo marginal) para estimularlos a desviarse hacia la ruta 2.

Tomando la diferencia entre el mayor costo en la ruta 2 y el menor costo en la ruta 1 para el óptimo social OS: 1.159 - 1.093 = 0.066 » 33/500 hr, se tiene una referencia del valor de una tarifa por uso de la ruta 1 que, aplicada al problema del óptimo del usuario OU, daría un reparto del tráfico como el obtenido en el óptimo social. La transformación efectiva de esta diferencia de tiempo en una tarifa aplicable requiere de tener un valor del tiempo para los usuarios, pero ese tema está fuera del alcance de la discusión en este artículo.

Si se calcula de nuevo el óptimo del usuario con esta función de costos para la ruta 1, manteniendo sin cambio los costos de la ruta 2, el resultado que se obtiene es:

que coincide justo con la solución del óptimo social.

Conclusiones

El congestionamiento vial surge cuando el número de vehículos en la red aumenta, generando interacciones entre los usuarios que obliga a todos a reducir la velocidad a la que se puede circular, incrementando el tiempo de recorrido. La circunstancia más común es que los automovilistas busquen minimizar sus propios tiempos de recorrido cambiando a rutas alternativas, llegando al punto en que cualquier ruta alternativa toma el mismo tiempo, que es el punto de equilibrio conocido como óptimo del usuario OU: no hay forma de mejorar el tiempo cambiando de ruta.

Si bien este equilibrio parece democratizar los tiempos de recorrido, pues no hay nadie que tenga ventaja sobre otros, el costo total de esta solución suele no ser el mínimo posible de costo total. El costo total, relacionado con los tiempos de recorrido de todos los usuarios es importante desde el punto de vista social, pues al minimizarlo se reducen los impactos negativos del consumo de combustibles, la generación de ruido y la emisión de contaminantes.

El tráfico congestionado puede tratarse entonces con un sentido social buscando el reparto de flujos que minimice el costo total de los recorridos, esto es, la búsqueda del óptimo social OS.

El ejemplo desarrollado en este artículo muestra que los óptimos OU y OS en general no coinciden y que se necesita de una intervención del planificador del sistema de transporte para motivar a los usuarios a adoptar el patrón de flujos correspondiente al óptimo OS.

El hecho de que los usuarios toman sus decisiones individual e independientemente hace muy difícil que éstos se organicen por sí mismos para adoptar el patrón de flujos del óptimo OS. Por ello, la aplicación de una tarifa basada en la diferencia en los costos marginales de las rutas alternativas es una solución adecuada para incidir en la toma de decisiones de los usuarios y así estimularlos a adoptar el patrón del óptimo social.

La realización efectiva de una imposición de tarifas requiere de tener una referencia del valor del tiempo para los usuarios, (que es un tema de mucho interés en los estudios del transporte), y de un manejo adecuado de las implicaciones políticas que la impopularidad de una medida semejante tiene en la población de los usuarios de las vialidades. Sin embargo, el análisis indica que esta medida está sustentada en la búsqueda del bienestar social que trata de minimizar los impactos negativos del transporte, y no nada más en la búsqueda de medidas que mejoren la recaudación fiscal de los gobiernos.

*   Bibliografia  

Florian, M. (1999). “Untangling Traffic Congestion”. ORMS Today. April, 1999. (en línea). Disponible en:<URL: http://www.lionhrtpub.com/orms/ORMS-archive.html>

Ortúzar, J. de D. and Willumsen, L. (1994). “Modelling Transport”. 2nd edition. John Wiley U.K.

Wikipedia, the Free Enyclopeda. (2007). “John Glen Wardrop”. (en línea). Disponible en: <URL: http://en.wikipedia.org/wiki/John_Glen_Wardrop >

MORENO Q. Eric

 
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