Introducción.

La jerarquización de localidades en función de su tamaño es una tarea común dentro de los estudios de geografía económica. La determinación del tamaño relativo de cada población en una región, permite su clasificación y es un elemento para el análisis de las múltiples relaciones que se establecen entre las localidades. Una de las formas que existen para realizar la determinación de los tamaños relativos de las poblaciones (CONAPO; 1991), se fundamenta en el uso de una relación matemática conocida como “regla rango – tamaño” o también “Ley de Zipf”. Esta relación toma su nombre en honor al profesor estadounidense George Kingsley Zipf, quien la descubrió y utilizó ampliamente en la primera mitad del siglo veinte.

En sus trabajos, Zipf encontró que existe una regla simple de proporcionalidad entre el tamaño de una población y el recíproco del número (rango) que le corresponde al enlistar todas las poblaciones de la región de manera decreciente en función de su cantidad de habitantes. En otras palabras, si el tamaño de la población mayor es proporcional a 1, el tamaño de la segunda población en la lista es proporcional a 1/2, el de la tercera población a 1/3, y así sucesivamente.

Algebraicamente, la regla de Zipf se puede expresar por medio de la siguiente expresión:

donde:

 Población en la localidad i–ésima.

 Rango de la localidad i–ésima, en la lista ordenada de manera decreciente por tamaño de población.

Evidentemente, la concordancia entre el tamaño de las poblaciones y la proporción que les corresponde por su rango nunca es exacta, pero se ha demostrado que la regla es válida en general, puesto que en la mayoría de los casos la diferencia es no significativa desde el punto de vista estadístico. Esto último se aprovecha para realizar inferencias por medio de modelos estocásticos que ajustan la distribución particular de cada caso a un modelo específico.

Aplicación de la regla de Zipf en el análisis de redes de transporte.

En las redes de transporte, al igual que en el análisis regional, también es útil determinar el tamaño relativo de los nodos o terminales que las conforman, puesto que ello constituye una medida cuantitativa de su importancia dentro del sistema. En estos casos, el principal indicador al que se puede recurrir para determinar los tamaños relativos es el volumen de carga o pasajeros que fueron atendidos (transferidos) por las terminales en un periodo de tiempo dado.

En una investigación reciente realizada en el Instituto Mexicano del Transporte (Rico, 2001) se utilizó la regla de Zipf para proponer una clasificación jerarquizada de los nodos que constituyen la red nacional de transporte de carga doméstica por vía aérea. El procedimiento incluyó la elaboración de un modelo estocástico que fue calibrado con datos empíricos a través de una regresión por mínimos cuadrados y que se presenta someramente en esta nota al considerársele una propuesta metodológica que puede ser utilizada en otros estudios de transporte.

A partir de la relación (1) (Regla de Zipf) se plantea la ecuación (2); en ésta se ha dejado como variable dependiente al rango y se han añadido una constante de proporcionalidad, para alcanzar las condiciones de igualdad, y un exponente que afecta a la variable independiente, determinando la potencia de la función y otorgándole una mayor flexibilidad para adaptarse a diversos casos particulares:

donde:

    Rango de la terminal i–ésima dentro del sistema de transporte.

    Volumen de carga atendido en la terminal i–ésima en un periodo de tiempo determinado.

     Constante de proporcionalidad calculada con datos empíricos.

    Exponente que determina la potencia de la función, calculado con datos empíricos.

La ecuación (2) se transforma por medio de una anamorfosis logarítmica, para obtener la ecuación (3):

La ecuación (3) se comporta linealmente y sus coeficientes pueden ser determinados a partir de un conjunto de datos empíricos utilizando técnicas tradicionales de regresión por mínimos cuadrados, substituyendo en los cálculos a los puntos , por los puntos .

Utilizando el conjunto de datos de la “red estratégica de transporte aéreo de carga” (Rico, 2001), para calibrar el modelo de regresión, se obtuvieron los valores de 6,261 para el coeficiente a, y 0.795 para el exponente b. El coeficiente de determinación r² fue de 0.975.

El hecho de que el exponente b tenga un valor cercano a la unidad, indica que la distribución del tamaño relativo de los nodos, en el sistema bajo análisis, es cercana al comportamiento encontrado por Zipf, puesto que en su modelo original este exponente tiene valor unitario.

Por su parte, el valor elevado (también cercano a uno) del coeficiente de determinación, indica que existe un buen nivel de ajuste entre la función y la dispersión de los datos empíricos en el plano cartesiano, lo cual justifica la utilización del modelo para realizar inferencias en este caso particular.

En el cuadro que se presenta en esta nota, se muestran las 32 terminales que conforman la red estratégica de transporte aéreo de carga doméstica, la carga que atendieron en 1999 y el rango que les corresponde de acuerdo al modelo que hemos propuesto previamente.

Con los datos del cuadro se puede observar que el modelo es efectivamente sensible al tamaño de las terminales, dado que, cuando la diferencia entre las cargas transportadas supera cierto rango, el modelo clasifica las terminales en categorías diferentes, pero cuando la diferencia no supera el rango, las terminales se consideran en la misma categoría, formándose subconjuntos que comparten el mismo nivel jerárquico dentro del sistema, como en los casos de los niveles once, quince y dieciocho.

Otro resultado de la aplicación del modelo consiste en hacer evidentes los “huecos” que existen dentro de la estructura jerárquica del sistema, como ocurre entre las categorías seis y once, donde se tiene un salto importante debido a la ausencia de terminales que se ubiquen en esas categorías. Adicionalmente, el modelo también se podría utilizar para calcular los intervalos que corresponden a cada uno de los niveles jerárquicos y, con ello, el tamaño esperado de las terminales “faltantes”.

Conclusiones.

En esta nota se ha mostrado cómo se puede utilizar la regla de Zipf mediante la construcción de un modelo estocástico no lineal calibrado por la técnica de los mínimos cuadrados. La aplicación del modelo al caso de una red de transporte aporta elementos para su análisis estructural, mejorando el conocimiento de la red y ampliando la posibilidad de detectar deficiencias en la articulación de sus interrelaciones.

Jerarquización de las terminales en la red estratégica
de transporte aéreo de carga doméstica en México.

Nota:    La carga se refiere exclusivamente a los intercambios dentro de la red estratégica.

Fuente: Elaboración propia con datos de la Dirección General de Aeronáutica Civil de la Secretaría de Comunicaciones y Transportes.

Las relaciones económicas y sociales que se establecen entre los núcleos de actividades, o las regiones, de una nación se manifiestan en la movilidad de personas y mercancías a través de los sistemas de transporte, desde esta perspectiva, la definición de la estructura jerárquica que prevalece entre los nodos de las redes de transporte es un elemento que contribuye, en general, al análisis de la organización espacial de un territorio.

Referencias:

Dirección de Estudios Socieconómicos y Regionales, Consejo Nacional de Población (CONAPO), Sistema de ciudades y distribución espacial de la población en México (Conapo, 1991), México, D.F., agosto de 1991.

Rico Galeana, Oscar Armando, El transporte aéreo de carga doméstica en México, Publicación Técnica Nº 169, Instituto Mexicano del Transporte, Sanfandila, Querétaro, 2001.

G Troll, P beim Graben, Zipf's law is not a consequence of the central limit theorem, Physical Review E, 57(2), pp 1347-1355, 1998.

R. Gunther, L. Levitin, B. Saphiro y P. Wagner, Zipf’s Law and the effect of ranking on probability distributions, International Journal of Theoretical Physics, 35(2) pp 395 – 417, 1996.

Adamic, Lada A, Zipf, Power-laws, and Pareto, a ranking tutorial, Xerox Palo Alto Research Center, Palo Alto, CA 94304.

Oscar Armando Rico Galeana, Investigador del IMT.