Se presenta en este artículo el resumen de una parte de la Publicación Técnica no. 398 del IMT: Aplicación de métodos markovianos en el modelado del deterioro de carreteras. En la publicación, además del tema de las cadenas de Markov homogéneas, se describen métodos alternativos para la obtención de la matriz de probabilidades de transición, la cual, como se ve más adelante en el artículo, es una entidad matemática que permite evaluar en términos probabilísticos el deterioro de una carretera en el tiempo. Adicionalmente, la publicación introduce la aplicación de métodos de Monte Carlo con cadenas de Markov (MCMC) en la ingeniería de carreteras.

Introducción

Una cadena de Markov se define como una secuencia de variables aleatorias que representan los estados de un determinado sistema durante una serie de intervalos de tiempo, de modo tal que el estado del sistema en el intervalo actual depende únicamente de su estado en el intervalo inmediato anterior y no de los estados previos.

En ingeniería de carreteras, las cadenas de Markov se han aplicado principalmente en el desarrollo de modelos probabilísticos para estimar el deterioro de pavimentos y de otros activos viales. Estas aplicaciones han sido recurrentes en los Estados Unidos de América y en otros países desarrollados, sin embargo, en México no parece haber experiencia alguna al respecto. Lo anterior resulta en cierto modo paradójico ya que, por una parte, nuestro país adolece la falta de modelos de deterioro adaptados a las condiciones de nuestras carreteras y, por otra, la aplicación de las cadenas de Markov es relativamente sencilla, si bien es cierto que su uso generalizado requiere de un volumen importante de información histórica que, en muchos casos, no se encuentra disponible.

El artículo presenta, en primer lugar, una clasificación general de los modelos para la estimación del deterioro de carreteras. Enseguida, se describen las cadenas de Markov, incluyendo su definición, propiedades y algunas consideraciones para su aplicación en el modelado del deterioro. Más adelante, se desarrolla un ejemplo de aplicación de las cadenas de Markov homogéneas en la predicción de la evolución del IRI, empleando datos de un tramo de la red de autopistas del Fondo Nacional de Infraestructura. El ejercicio del que este ejemplo forma parte tuvo un doble propósito: por un lado, ilustrar la aplicación de las cadenas de Markov y, por otro, valorar de manera inicial la pertinencia del método en nuestro país. Al final del artículo se presentan algunas conclusiones derivadas de los resultados obtenidos.

Tipos de modelos de deterioro

Los modelos de deterioro pueden clasificarse, de manera muy general en las siguientes dos categorías (Robinson, y otros, 1998):

a)    Modelos deterministas. Estiman la condición mediante un valor preciso, calculado con funciones matemáticas que relacionan de una u otra forma un indicador de deterioro con un conjunto de variables explicativas. Forman parte de esta clase los modelos puramente mecanicistas, los de regresión y los empírico-mecanicistas.

b)    Modelos probabilísticos. El estado futuro de la carretera se estima como una función de probabilidad del rango de posibles estados que podrían presentarse.

Se pueden utilizar dos tipos de funciones de probabilidad:

i)     Función continua. Expresa la probabilidad de que un índice de estado sea mayor que un valor dado en relación con la edad del pavimento. Este tipo de función se conoce como “curva de supervivencia”.

ii)   Función discreta. Conocida también como “función markoviana”, debido a que se basa en el concepto de “cadenas de Markov”, esta función divide el espacio de todas las condiciones posibles en una serie de “estados de condición”.

Definición y propiedades de las cadenas de Markov

El modelo de cadenas de Markov se refiere a un proceso estocástico con las siguientes propiedades:

a)    Es discreto en el tiempo.

b)    Se define en un espacio finito de estados posibles.

c)    El cambio entre estados está determinado por un conjunto de probabilidades .

d)    La probabilidad de que el proceso pase del estado  al estado  () depende únicamente del estado actual y no de los estados anteriores. A esta característica se le conoce como propiedad de Markov y puede enunciarse como sigue (Lam, 2008):

                     (1)

Para utilizar las cadenas de Markov en el modelado del deterioro del pavimento normalmente se parte de los siguientes supuestos:

·         Los estados del proceso corresponden a los distintos niveles de deterioro del pavimento, definidos en términos de indicadores de daño como regularidad, deterioros superficiales o índices compuestos como el Índice de Nivel de Servicio Actual ( por Present Serviceability Index).

·         El nivel de deterioro se expresa a través de estados o bandas de condición definidos en términos de algún indicador de interés, por ejemplo,  para el Índice de Regularidad Internacional (IRI).

·         Los estados del proceso ocurren en ciclos de servicio con una duración fija, normalmente de un año.

·         Se asume que el deterioro de pavimentos cumple con la propiedad de Markov, es decir, que el estado futuro depende únicamente del estado actual.

Existen dos entidades básicas vinculadas al uso de cadenas de Markov. La primera es el vector de estado, que expresa la condición de un tramo o red como una colección de las fracciones que se encuentran en cada una de las bandas definidas. Este vector tiene la forma:

                                                  (2)

En la expresión anterior,  representa la fracción del tramo o red que se encuentra en el estado  durante el ciclo de servicio . Para el vector de estado, se debe verificar que:

La otra entidad es la matriz de probabilidades de transición (MPT), la cual agrupa todas las probabilidades de que el estado de la carretera pase del estado  al estado  entre dos ciclos de servicio consecutivos. La MPT está dada por:

donde  es la probabilidad de que el estado del pavimento cambie del estado  al estado  entre los ciclos de servicio  y .

De forma análoga al caso del vector de estado, se debe verificar que:

Un activo carretero no puede mejorar su condición a menos que se ejecuten en él acciones de conservación. Por lo tanto, las cadenas de Markov utilizadas para modelar el deterioro de carreteras deben cumplir también con la siguiente condición:

Adicionalmente, es usual suponer que el activo no puede deteriorarse en más de un estado durante un ciclo de servicio. Con las consideraciones anteriores, la MPT queda:

                                        (3)

Para el uso de cadenas de Markov en la predicción del deterioro de carreteras, se parte de un vector de estado inicial , que contiene las porciones del tramo o red de interés que se encuentran, al inicio del periodo de análisis, en un cada uno de los estados de condición establecidos:

El vector de estado que corresponde al primer año del periodo de análisis, , se calcula entonces como:

o, en notación matricial:

Si la MPT se mantiene constante en el segundo año del periodo de análisis y en los ciclos de servicio subsecuentes:

                                                        (4)

donde  se refiere a cualquier ciclo de servicio.

Cuando las matrices de probabilidades de transición no cambian en el tiempo, a las cadenas de Markov resultantes se le conoce como cadenas homogéneas y, en caso contrario como cadenas no homogéneas.

Para el cálculo de los elementos  de la MPT normalmente se utilizan dos métodos (Ortiz-García, y otros, 2006). El primero de ellos consiste en obtenerlos como:

                                                                            (5)

donde  es el número de tramos que pasaron del estado  al estado  en un ciclo de servicio y  el total de tramos que se encontraban en el estado  al inicio del ciclo. De lo anterior se desprende que bastan datos de dos años para calcular las probabilidades de transición.

La carencia de información histórica confiable da paso al segundo método, el cual consiste en estimar las  con base en la opinión de un panel de expertos.

Ejemplo de aplicación

En esta sección se presenta un ejemplo del uso de cadenas de Markov homogéneas para predecir la evolución del Índice de Regularidad Internacional (IRI) en un tramo de la red de autopistas del Fondo Nacional de Infraestructura. Se trata de un tramo de pavimento asfáltico de 30 km de longitud, con un aforo de 4,164 veh/día en el año 2009 y un porcentaje de vehículos pesados de 43.6 %. El clima en la zona es de tipo tropical – subhúmedo.

El análisis se efectuó con datos de IRI registrados a cada 20 m en los años 2008 y 2009. Como primer paso, los datos anteriores se promediaron para segmentos de 100 m, a fin de facilitar su procesamiento y reducir la dispersión debida a fenómenos o errores muy localizados. En la Figura 1 se muestran los larguillos de IRI de 2008 y 2009 que corresponden a los promedios obtenidos para cada segmento de 100 m. La misma figura presenta el larguillo de las diferencias entre ambas series, es decir, la magnitud del incremento de IRI ocurrido entre estos dos años.

Como puede apreciarse en la Figura, una parte importante de las diferencias resultaron negativas, lo cual, si los datos se encontraran libres de error, sería indicativo de la ejecución de trabajos de conservación en el tramo. Sin embargo, el larguillo de las diferencias, como el de las series originales, muestra una dispersión significativa y, en particular, una alternancia entre valores positivos y negativos.

Figura 1. Larguillos de IRI.

Con el propósito de comparar el comportamiento global de las series de datos de los dos años, se obtuvieron sus parámetros de estadística descriptiva, los cuales se muestran en la Tabla 1. De acuerdo con esta tabla, el valor medio de IRI pasó de 3.43 a 3.68 m/km entre 2008 y 2009, es decir, el tramo sufrió, de manera global, un ligero deterioro entre estos años. Por otro lado, la desviación estándar se mantuvo prácticamente sin variación, lo cual constituye una evidencia de que no se realizaron acciones de conservación, ya que, de haber sido el caso, la desviación estándar habría tenido una disminución perceptible.

Las afirmaciones precedentes pueden verificarse en el diagrama de caja de la Figura 2. En este diagrama, se aprecia que, de manera global, los datos tuvieron un desplazamiento hacia valores mayores de IRI y que, no obstante la anterior, la dispersión no tuvo una variación importante.

Así, puede concluirse que el pavimento del tramo sufrió un deterioro marginal entre 2008 y 2009, y que las diferencias negativas entre las series se deben a errores de medición y no a intervenciones en el tramo.

A fin de contar con información útil para la generación de la MPT, los datos de la Figura 1 se sometieron a un proceso simple de filtrado en el que la diferencia entre las dos series se limitó al rango [0, 1]. El estado del pavimento se clasificó utilizando bandas de 1 m/km, de modo que el filtro establecido, además de eliminar las diferencias negativas, aseguró que ningún segmento se deteriorara en más de un estado durante los ciclos anuales.

Tabla 1. Parámetros de estadística descriptiva del IRI

Figura 2. Diagramas de caja de los datos de IRI.

Empleando el intervalo de clasificación de 1 m/km y en concordancia con los valores contenidos en las series, se definieron un total de seis bandas, la primera de 0.5 a 1.5 m/km y la última de 4.5 a 5.5 m/km, como se indica en la Tabla 2.

Clasificando los datos de acuerdo con las bandas definidas, se obtuvo el siguiente vector de estado inicial:

Tabla 2. Bandas de condición.

Asimismo, usando la ecuación (5), se calcularon las probabilidades de transición y se armó la MPT que se presenta en la Tabla 3. Se observa que, como resultado del filtro y del intervalo de clasificación utilizados, en todos los casos los segmentos sólo pueden permanecer en el mismo estado o pasar al siguiente.

Tabla 3. Matriz de probabilidades de transición.

Con la multiplicación reiterada de  por la MPT, se modeló la evolución de los vectores de estado del tramo para un periodo de análisis de 20 años. Esta evolución se representa mediante la gráfica de barras de la Figura 3.

Asimismo, se obtuvo la curva que representa el deterioro del tramo en el mismo periodo, la cual aparece en la misma Figura. Los puntos de esta curva corresponden a los valores esperados del  en cada año, que se obtienen como el producto interior del vector de estado y el vector de marcas de clase, es decir:

donde:

: Valor esperado de  para el ciclo de servicio .

: Vector de estado para el ciclo de servicio .

Figura 3. Representación gráfica de la evolución de los vectores de estado y curva de deterioro.

: Vector de marcas de clase.

La Figura 3 contiene una curva de deterioro adicional que se obtuvo empleando una versión modificada de un algoritmo de simulación Monte Carlo (Pierce, 2003). Este algoritmo, genera números aleatorios que utiliza para recorrer una MPT con probabilidades acumuladas y determinar la curva de deterioro. El algoritmo produce un total de 1500 curvas, cuyos datos promedia para aproximar la solución. Como se observa en la Figura, la simulación Monte Carlo permite obtener puntos que no aparecen en la curva de valores esperados por corresponder a estados de condición previos al estado actual. De esta manera, la curva obtenida por simulación Monte Carlo podría utilizarse para predecir el deterioro de segmentos nuevos con características similares al tramo del ejemplo.

De los resultados del ejemplo puede concluirse lo siguiente:

·         El método de cadenas de Markov homogéneas es relativamente sencillo, sin embargo, requiere que los datos sean objeto de un tratamiento de reducción del error que puede llegar a ser muy complejo. En el ejemplo se utilizó un filtro simple, sin embargo, es recomendable explorar técnicas avanzadas de eliminación de datos atípicos y procesamiento de series temporales.

·         De acuerdo con la Figura 3, el deterioro ocurre de forma relativamente acelerada en los primeros años y después se vuelve asintótico con respecto al valor  de la última marca de clase. Es decir, el valor máximo de la curva de deterioro está condicionado por los máximos de las series originales, de modo que las cadenas de Markov homogéneas pierden su capacidad predictiva conforme se alcanza el valor máximo.

·         La curva de deterioro tiene una concavidad opuesta a la reportada en la literatura para la regularidad de los pavimentos. Este hecho deberá investigarse en mayor profundidad en trabajos posteriores.

·         Las cadenas de Markov pueden utilizarse para modelar el deterioro de otros activos carreteros además de los pavimentos (puentes, señalamiento, etc.). Lo anterior, que representa una gran ventaja, es posible porque el método se basa en un enfoque probabilístico que no toma en cuenta las relaciones intrínsecas entre el proceso de deterioro y los factores que lo producen.

·         Las cadenas de Markov homogéneas no toman en cuenta la evolución en el tiempo de variables explicativas muy importantes como el tránsito o la competencia estructural de los activos, lo cual puede provocar que la precisión del método baje considerablemente después de los primeros años del periodo de análisis Sin embargo, esta desventaja puede superarse usando varias cadenas, definidas en plazos cortos de unos cinco años (Butt, y otros, 1994).

Bibliografia

Butt Abbas A. [y otros] Application of Markov Process to Pavement Management Systems at Network Level [Conferencia]. - San Antonio, Texas, EUA : Transportation Research Board, 1994.

Lam Patrick MCMC Methods: Gibbs Sampli ng and the Metropolis-Hastings Algorithm [En línea] // Patrick Lam Home. - 2008. - 1 de August de 2013. - https://dl.dropboxusercontent.com/u/2993202/teaching/methods/mcmc/mcmc_print.pdf.

Ortiz-García José J., Costello Seósamh B. y Snaith Martin S. Derivation of Transition Probability Matrices for Pavement Deterioration Modeling [Publicación periódica] // ASCE Journal of Transportation Engineering. - febrero de 2006.

Pierce Lane D. A Probabilistic Approach to Creating Pavement Deterioration Models [Informe] / Department of Civil and Environmental Engineering, College of Engineering and Technology ; Brigham Young University. - Provo, UT, EUA : Brigham Young University, 2003.

Robinson Richard, Danielson Uno y Snaith Martin Road Maintenance Management: Concepts and Systems [Libro]. - Chippenham, Wiltshire, UK : Palgrave, 1998.

SOLORIO Ricardo
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MÁRQUEZ Daniel
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MONTOYA Monserrat
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